História da Regra de três simples, direta, inversa e composta.

A regra de três simples, na matemática, é uma forma de descobrir um valor a partir de outros três, divididos em pares relacionados cujos valores têm mesma grandeza e unidade. Além da regra de três simples existe também a regra de três simples direta, regra de três simples inversa e a regra de três compostas.

Bibliografia: Lima, Elon Lages. Temas e problemas

 1. Regra de três é o processo destinado a resolver problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Assim, se em um dado problema temos grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, podemos utilizar regra de três simples ou composta para resolver o problema dado.
Se temos três valores e queremos encontrar um deles, usamos a regra de três simples para encontrar esse valor desconhecido.
Regra de três simples permite encontrar um quarto valor que não conhecemos em um problema, dos quais conhecemos apenas três deles. Assim, encontraremos o valor desconhecido a partir dos três já conhecidos.
Veja os passos para montar o problema e resolver facilmente:
1.    Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesa espécie na mesma coluna.
2.    Identificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, analisaremos isso no próximo passo.
3.    Montar a equação assim: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em forma de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional.
4.    Resolva a equação.
  1:Se quatro operários fazem certa obra em 15 dias em quantos dias 20 operários com a mesma eficiência dos primeiros fariam a mesma obra?
 Resolução:
↑Operários               Dias↓      
                                                                            
4                             15
20                          x
Primeiramente temos que organizar as setas. Para isto devemos inverter uma das situações.
 20        15                   
4           x
Multiplicando em cruz,temos
20        15             20x= 4.15
4            x               20x=60
                                X=60÷20
                               X=3 dias
 2. Exemplo
Se 30 tratores levaram seis dias para realizar uma tarefa, quantos tratores fariam a mesma tarefa em 4 dias?
(A)20tratores
(B)45tratores
(C)35tratores
(D) 25 tratores
  Resolução:
 4X= 6.30
4X 180
X= 180÷4
X=45 tratores
  3. Exemplo
Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.
    kg            Litros de álcool
 6000                 500
15000                  x
6000  =  500
15000      x
  6 = 50
15    x
 6x= 7500
 
x = 7500
         6
 x = 1250
Serão produzidos 1 250 litros de álcool com 15 000 kg de cana – de – açúcar.
 4. Exemplo
Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?
 
Aplicação      Juros:
500                  2,50
2100                   x
 500  = 2,50
2100    x
 5= 2,5
21   x
 5x = 52,5
   x= 10,5
 O valor dos juros será correspondente a R$ 10,50


Regra de três simples direta:
Quando temos duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de um deles é semelhante a variação no outro, aumentando ou diminuindo.
 Exemplo:
1) Para se construir um muro de 17m² são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51m²?


Área      Nº de trabalhadores
17m²     3
51m²     X
17 = 3 51     x
 
17 * x = 3 * 51
17x= 153
 x= 153       17
x=9
Serão necessários 9 trabalhadores para construir um muro de 51m².


Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
        Exemplos:
        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
Caminhões
Volume
8
20
160
5
x
125
        Identificação dos tipos de relação:
        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
 1.Exemplo
Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?
 KG   Metros Largura (CM)
 4          14           80
 x          350       120
 4     =     14   *   80
 x          350       120
 4 =14 *  2/3
x   350
 4 = 28
x  1050
 28x =  4200
x = 4200
         28
x = 150
Serão necessários 150 kg de fios para produzir uma maquete de fazenda de 350 m com 120 cm de largura.

2.Exemplo
Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
Empregados | Dias
  750                  25
  750 + 500        x
  750 + 500 = 25
     750          x
 25=  1250
  x      750
 1250x = 18750
  x= 18750
       1250
      x=15
 A quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para 15 dias.



3. Exemplo
Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

O número de páginas a serem ocupadas pelo texto respeitando as novas condições é igual a 18.
Paginas |linhas | letras
 6                 45        80
 x                  30        40
 x = 45 * 80
6    30   40
 x = 3 * 2
6    2
 x = 6
6    2
 x =3
 6
x= 3 *6
 x = 18
O número de páginas a serem ocupadas pelo texto respeitando as novas condições é igual a 18.
  4. Exemplos
Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
 Impressora |Numero de panfletos | Tempo/ min
      6                   1000                               40
      3                   2000                               x
 40 = 1000 * 3
 x     2000   6
 40 = 1 *  3
x       2    6
 40 = 3
 x    12
  3x = 480
 x = 480
        3
 x= 160
As três impressoras produziriam 2000 panfletos em 160 minutos, que correspondem há 2 horas e 40 minutos.

Regra de três simples inversa:
Quando temos duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas é contrária a variação no outro, quando um aumenta o outro diminui e vice-versa.
 Exemplo:
1) Um automóvel com velocidade de 80 km/h gasta 15 minutos em certo percurso. Se a velocidade for reduzida para 60 km/h, que tempo, em minutos, será gasto no mesmo percurso?
Solução: montando a tabela e agrupando as grandezas de mesma espécie na mesma coluna.
Velocidade         Tempo
80 km/h               15 min.
60 km/h               X min.

60 = 80 80     x
60 * x = 80 * 15
60x = 1200
x= 1200
      60
x = 20
Portanto, será gasto um tempo de 20 minutos para fazer o mesmo percurso a 60 quilômetro por hora.

https://www.youtube.com/watch?v=EyE54NM3YPE