Um pouco da História da Trigonometria

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.

A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.0,

Papiro Rhind, Museu de Londres.

O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.

A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se calcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é  conforme figura:

OB = r

A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.

Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica.

Entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.Mostrando a mesma influência babilônica apresentada por Hiparco,Ptolomeu dividiu a circunferência em 360 partes e o diâmetro em 120 partes. Usou  como aproximação para o número p. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas das cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamentalSemelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são:

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De posse do equivalente dessas fórmulas, Ptolomeu construiu uma tabela de cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0º e 180º. Calculou comprimentos de cordas, inscrevendo polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 lados num círculo. Isso lhe possibilitou encontrar a corda subtendida por ângulos de 36º, 60º, 72º, 90º e 120º. Descobriu então, um método para encontrar a corda subtendida pela metade do arco de uma corda conhecida. Esse fato que, em nossa simbologia, é o mesmo quejuntamente com interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um bom grau de precisão.

Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para os ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiam uma "expressão" do ângulo em termos dep, que primeiramente foi chamada "p-medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessa unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas.

Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus.

A mais antiga tábua de senos foi descoberta na Índia, onde essas tábuas sem dúvida se originaram. Seus inventores, desconhecidos, conheciam as idéias matemáticas gregas e babilônias transmitidas como subprodutos de um florescente comércio romano com o sul da Índia, via Mar Vermelho e Oceano Índico. O Surya Siddhanta, cujo significado é sistemas de Astronomia, era um conjunto de textos matemáticos e regras enigmáticas de Astronomia, redigido em versos, em sânscrito, com poucas explicações e nenhuma prova. Foi composto no século IV ou V d.C., mas a versão que resta foi revista tantas vezes que é difícil dizer que partes estão em sua forma original.

O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agora realmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi reproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskaraem 1150.

Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno.

Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu'l - Wafa sabia que

 embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu, fazendo x = y.

A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe que chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcusrapidamente encorajou o uso universal de seno.

Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jibae jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.

Os capítulos do livro de Copérnico, mostrando toda a importância da Trigonometria para a Astronomia, foram publicados em 1542 por Rheticus. Este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua morte.

O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtred S.

Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em 1620, sugeriu co-sinus. A notação Si.2foi usada por Cavalieri, s co arc por Oughtred e S por Wallis.

Viète conhecia as fórmulas para sen nx em termos de sen x e cos x. Ele deu explicitamente as fórmulas relativas ao seno e ao cosseno do arco triplo

A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto modificava o tamanho da sombra.

Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides através da semelhança de triângulos.

As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes por volta de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi primeiro usado por Edmund Gunter, em 1620.

As notações para a tangente e a cotangente seguiram um desenvolvimento semelhante àquele do sen e cos. Cavalieri usou Ta e Ta.2, Oughtred usou t arc e co arc, enquanto Wallis usou T e t. A abreviação comum usada hoje é tan (ou tg) sendo que a primeira ocorrência desta abreviação é devida a Albert Girard em 1626, com tan escrito por cima do ângulo; cot foi primeiro usada por Jonas Moore em 1674.

A secante e a cossecante não foram usadas pelos antigos astrônomos ou agrimensores. Estas surgiram quando os navegadores por volta do século XV começaram a preparar tabelas. Copérnico sabia da secante que ele chamou a hipotenusa. Viète conhecia os resultados

e.

As abreviações usadas por vários autores foram semelhantes para as funções trigonométricas já discutidas. Cavalieri usou Se e Se.2, Oughtred usou se arc e sec co arc, enquanto Wallis usou s e s. Albert Girard usou sec, escrito por cima do ângulo como ele fez para a tan.

                      

O século XVIII viu as funções trigonométricas de uma variável complexa sendo estudadas. Johann Bernoulli achou a relação entre e log z em 1702. De Moivre publicou seu famoso teorema 

em 1722, enquanto Euler, em 1748, forneceu a fórmula.

Teoria

A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.

Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo:

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90^o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.

O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:

Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.
Isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes. 

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:
Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º
Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º.
Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto. 
No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.


As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

Dado o triângulo retângulo ABC, temos as seguintes relações:

Seno: cateto oposto / hipotenusa

Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa

Tangente: cateto oposto / cateto adjacente

Tabela de Razões Trigonométricas

Os cálculos envolvendo as relações trigonométricas, ao serem efetuados, necessitam de alguns valores de ângulos, que estão presentes na seguinte tabela de razões trigonométricas:

A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.

 Exercícios Resolvidos

Questão 1 (PM Paraná 2010 – Cops). Uma torre de observação é construída em uma região plana. Um bombeiro precisa determinar a altura h da torre. Ele observa a torre sob um ângulo de 60°, a partir de um ponto P, situado a d metros desta. Partindo de P, ao se afastar da torre por mais 10 metros, passa a vê-la sob um ângulo de 45°.Qual a altura da torre, em metros?

Resolução:

Triangulo com ângulo de 60 graus

tg60 = h/d

√3 = h/d

d = h / √3     (1)

Triângulo com ângulo de 45 graus

tg45 = h/(d+10)

1 = h/(d+10)

h = d + 10    (2)

Substituindo (1) em (2):

h =  h / √3  + 10 (multiplicar por √3)

h√3 = h + 10√3

h√3 – h = 10√3

h(√3 – 1) = 10√3

h = 10√3 / (√3 – 1)

Resposta: A

Questão 2 (RFB 2009 – Esaf). Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de  900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?

a) 0,333 km

b) 0,625 km

c) 0,5 km

d) 1,3 km

e) 1 km

Resolução:

Como ele tem velocidade média de 900 km/h, e uma hora possui 3600 segundos, temos que a velocidade em km/seg é de 900/3600 = 0,25 km/seg. Como queremos saber a distância após 5 segundos, ele viajou 0,25 x 5 = 1,25 km.

 

Observe o triângulo que representa a trajetória do projétil. Desejamos descobrir a altura, ou seja, o valor de x.

Temos que sen30º = cateto oposto / hipotenusa

0,5 = x / 1,25

x = 1,25 . 0,5 = 0,625 km

Resposta: B

 

Questão 3. (PC MA – FGV 2012) A figura abaixo mostra uma viga AB de 4 m de comprimento presa no ponto A a uma parede vertical. A viga é mantida na posição horizontal pelo cabo de aço PQ de forma que P está fixo na parede, AP é vertical e Q está no meio da viga AB. Sabe-se que o ângulo APQ mede 40º.

Dados: sen(40º) = 0,64, cos(40º) = 0,77, tg(40º) = 0,84.

A distância entre os pontos A e P é de aproximadamente:

a) 1,68 m.

b) 2,38 m.

c) 2,56 m.

d) 2,75 m.

e) 3,08 m.

Resolução

A questão informa que AB = 4. Como Q está no meio da viga AB, então AQ = 2.

Sabendo que APQ é um ângulo de 40º, vamos utilizar a fórmula da tangente para calcularmos AP. Veja:

 

Resposta: B

TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER

Os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha facilidade, algumas situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos. Nesses casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos.

Lei dos senos

A lei dos senos estabelece relações entre as medidas dos lados com os senos dos ângulos opostos aos lados. Observe:

Exemplo 1 

No triângulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y.

Aplicando a lei dos senos, temos:

Lei dos cossenos 

Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos:

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A
b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C

Exemplo 2

Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:

x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º
x² = 36 + 64 – 96 * 1/2
x² = 100 – 48
x² = 52
√x² = √52
x = 2√13

Exemplo 3

Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro lado.

De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira:

x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º
x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2
x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2
x² = 172 – 48 * 3
x² = 172 – 144
x² = 28
x = 2√7 cm

Conceito Trigonométrico

1.  Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

2.  Medida de um arco é realizada comparando este a um arco único, assim, para cada arco existente na circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja, med(AÔB) = med(AB). Veja o exemplo abaixo:

Os arcos unitários mais usados são: o grau, quando dividimos a circunferência em 360 partes ele será uma dessas 360 partes, não podemos esquecer dos submúltiplos do grau, ou seja, o minuto 1° = 60' e o segundo 1° = 60"; e o radiano que corresponde a um arco que tem comprimento igual ao raio da circunferência, para obter a medida do ângulo, em radianos, basta dividir o comprimento do arco pelo raio.

Para uma circunferência qualquer tem-se: 360° = 2π rad, logo, 180° =  π rad. Assim, usando o conceito aprendido anteriormente de proporção e conversão de unidades temos que 1 rad ≅ 57,3°.

Circunferência trigonométrica: os ângulos dos arcos podem ser representados por meio do ciclo trigonométrico, para isso deve-se ter uma circunferência com raio unitário, um plano que esteja centrado na circunferência, a origem dos arcos ser o ponto A(1,0), os arcos medidos no sentido horário serem positivos e o dos anti-horário serem negativos, a circunferência ficar dividida em quatro partes, denominadas de quadrantes e numeradas no sentido anti-horário.

Não podemos esquecer de algumas particularidades dos circunferências trigonométricas: 

→ Arcos côngruos que são arcos que quando medidos no mesmo sentido possuem a mesma extremidade e diferem-se na quantidade de voltas. Expressão geral: α + 360º*k (caso a medida seja dado em graus) e α + 2π*k (caso a medida seja dada em radianos), α é a menor determinação ou primeira determinação positiva sendo 0 ≤ α < 360°, ou seja, k = 0.

→ Seno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo y, assim, sen α = OM". 

→ Cosseno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo x, assim cos α  = OM'.

→ Tangente de um arco: é a medida do segmento AT,  assim, tg α  = AT.

Relação fundamental da Trigonometria: sen² α + cos² α = 1.

→ Simetria dos arcos basicamente é a redução ao primeiro quadrante, assim devemos usar formulas especificas variando da posição do arco no quadrante.

1.  Arco que pertence ao 2° quadrante: sen (180° - β) = sen β e cos (180° - β) = -cos β, logo, sen (180° - α) = sen α e cos (180° - α) = -cos α.  

2.  Arco que pertence ao 3° quadrante: sen (180° + β) = -sen β e cos (180° + β) = -cos β, logo, sen (180° + α) = -sen α e cos (180° + α) = -cos α.

3.  Arco que pertence ao 4° quadrante: sen (360° - β) = -sen β e cos (360° - β) = cos β, logo, sen (360° - α) = -sen α e cos (360° - α) = cos α.

Exercícios resolvidos

1.       Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco AB, se:

   (a) L=6cm   (b) L=16cm   (c) L=22cm  (d) L=30cm

RESPOSTA:

A medida em radianos de um arco AB é dada por

m(AB)=

comprimento do arco(AB) comprimento do raio

(a) m(AB) = ( 6cm)/( 4cm) = 1,5 rad

(b) m(AB) = (16cm)/(4cm) = 4 rad

(c) m(AB) = (22cm)/(4cm) = 5,5 rad

(d) m(AB) = (28cm)/(4cm) = 7 rad

2.     Em uma circunferência de raio R, calcule a medida de um arco em radianos, que tem o triplo do comprimento do raio.

RESPOSTA:

A medida em radianos de um arco AB é dada por

m(AB)=

comprimento do arco(AB) comprimento do raio

Assim, como o comprimento do arco é o triplo do comprimento do raio

m(AB) = 3R/R = 3rad

3.     Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre uma única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos?

RESPOSTA:

Uma volta inteira na pista equivale a 360 graus, assim 1/3 de 360 graus é 120 graus.

Uma volta inteira na pista equivale a 2 radianos, então o atleta percorreu (2/3) .

4.    Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?

RESPOSTA:

Para simplificar os resultados supomos pi=3,1415 e enumeramos as raias de dentro para fora como C1, C2, C3, C4 e C5.

A primeira raia C1 tem raio de medida 10 m, então:

m(C1)=2100=200=200 x 3,1415=628,3 metros

A raia C2 tem raio de medida 12 m, então:

m(C2)=2102=204=204 x 3,1415=640,87 metros

A raia C3 tem raio de medida 14 m, então:

m(C3)=2104=208=208 x 3,1415=653,43 metros

A raia C4 tem raio de medida 16 m, então:

m(C4)=2106=212=212 x 3,1415=665,99 metros

5.       Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das medidas do primeiro com o segundo é 14 graus, a do segundo com o terceiro é 12 graus e a soma das medidas do primeiro com o terceiro é 8 graus.

RESPOSTA: Sejam a, b e c os três ângulos, assim

m(a)+m(b)=14 graus

m(b)+m(c)=12 graus

m(a)+m(c)= 8 graus

resolvendo o sistema de equações, obtemos:

m(a)=5 graus
m(b)=9 graus
m(c)=3 graus

6.     Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em graus e em radianos.

RESPOSTA:

O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 30 graus, que corresponde a 360/12 graus. Como 1 hora possui 60 minutos, então o ângulo percorido é igual a a=0,5 graus, que é obtido pela regra de três:

60 min ………………… 30 graus

1 min ………………… a graus

Convertemos agora a medida do ângulo para radianos, para obter a=/360 rad, através da regra de três:

180graus  ………………… rad

0,5 graus  ………………… a rad

7.     Os dois ponteiros de um relógio se sobrepoem à 0 horas. Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira vez novamente?

RESPOSTA:

O ponteiro dos minutos percorre 360° enquanto o ponteiro das horas percorre 360°/12=30º. Até 1:00h os ponteiros não se encontraram, o que ocorrerá entre 1:00h e 2:00h.

Consideraremos a situação original à 1:00h, deste instante até o momento do encontro o ponteiro dos minutos deslocou aº e o ponteiro das horas deslocou (a-30)º, como está na figura, assim:

Ponteiro dos minutos	ponteiro das horas
360º	30º
aº	(a-30)º

Pela tabela, tem-se que: 360(a-30)=30.a, de onde segue que 330a=10800e assim podemos concluir que a=32,7272º

O ponteiro dos minutos deslocou 32,7272º após 1:00h, mas ainda precisamos verificar quantos minutos corresponde este ângulo.

5 min ………………… 30 graus

x min …………… 32,7272 graus

A regra de três fornece x=5,4545'=5'27,27''. Assim, os ponteiros coincidem novamente após às 12:00h à 1 hora,5 minutos e 27,27 segundos.

8.     Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 12h e 20minutos.

RESPOSTA:

O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos ele percorre o ângulo a

60 min ………… 30 graus

20 min …………… a graus

A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ângulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus.

Parte superior do formulário

Parte inferior do formulário

9.       Escreva o ângulo a=12°28' em radianos.

RESPOSTA:

Usando o fato de que 1 grau possui 60 minutos, temos

1 grau …………… 60 minutos

x graus …………… 28 minutos

A regra de três garante que x=28/60=0,4666 grause desse modo segue que 12° 28'=(12+28/60)°=12+0,4666=12,4666°

Representando por M a medida do ângulo em radianos, temos

180°…………… rad

12,4666°……………M rad

e da regra de três segue que: M=12,4666./180=0,2211 rad

10.    Escreva  o ângulo a=36°12'58" em radianos.

RESPOSTA:

Usando o fato de que 1 minuto possui 60 segundos, temos

1 min ……………60 segundos

x min ……………58 segundos

x=58/60=0,967 min, logo 36°12'58''=36°(12+0,967)'=36°12,967'

Como 1 grau corresponde a 60', então:

1 grau ……………60 minutos

x graus ……………12,967 minutos

x=12,967/60=0,2161° e 36°12'58''=(36+0,2161)°=36,2161°

A medida M do ângulo em radianos, é M=36,2161°./180=0,6321 rad, que foi obtida como solução da regra de três:

180° …………… rad

36,2161° ……………M rad

Bibliografias:

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm

http://alunosonline.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.html

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/trigonometria-no-triangulo-qualquer.htm

http://friamentecalculando.blogspot.com.br/2013/10/trigonometria-conceitos-basicos.html

http://classroom.orange.com/pt/trigonometria_13.html

Alunos (as): Fabiane Santos, Márcia Oliveira, Henrique Estrela e Marta Oliveira.