Matemática financeira

Matemática financeira

A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.

Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos. 

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

Conceitos

• Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.
• Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
• Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
• Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Juro

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

Taxa básica de juros

A taxa básica de juros corresponde à menor taxa de juros vigente em uma economia, funcionando como taxa de referência para todos os contratos. É também a taxa a que um banco empresta a outros bancos.

No Brasil, a taxa de juros básica é a taxa Selic, que é definida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM) ^{[Nota 2]}do Banco Central, e corresponde à taxa de juros vigente no mercado interbancário, ou seja, é a taxa aplicada aos empréstimos entre bancos para operações de um dia (overnight) - operações estas lastreadas por títulos públicos federais. A taxa básica de juros, estabelecida pelo governo, através do Banco Central, para remunerar os títulos da dívida pública, é um importante instrumento de política monetária e fiscal. Em 20 de julho de 2011 a taxa básica de juros se elevou pela quinta vez seguida alcançando a marca de 12,5 pontos percentuais. O maior desde janeiro de 2009. Ao elevar a taxa Selic, o objetivo do BC é frear o consumo da população (dado que o consumidor terá que pagar juros mais altos, em compras pelo crediário) a fim de conter a inflação.

De forma análoga, nos Estados Unidos, a taxa básica de juros é fixada pelo Federal Open Market Committee (Comitê Federal de Mercado Aberto) do Fed (o sistema de bancos centrais dos EUA), com base na remuneração dos Federal Funds, que são os títulos que lastreiam empréstimos interbancários overnight e que têm como finalidade a manutenção do nível das reservas bancárias depositadas no banco central.

Taxa preferencial de juros

A taxa preferencial de juros (em inglês, prime rate) é a taxa de juros bancária cobrada dos clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm as melhores avaliações de crédito. É determinada pelas condições de mercado (custos bancários, expectativas inflacionárias, remuneração de outros ativos, etc.). Em geral, a taxa preferencial de juros adotada por grandes bancos tende a ser a referência para todo o setor bancário e normalmente será a menor taxa do mercado.

Geralmente a taxa preferencial supera em alguns pontos a taxa básica. Mas, na Inglaterra e na Eurozona, a taxa preferencial de juros corresponde exatamente à taxa vigente no mercado interbancário, e funciona como taxa básica de juros. É o caso da Libor e da Euribor. A Libor (London Interbank Offered Rate) é a taxa preferencial de juros que remunera grandes empréstimos entre os bancos internacionais operantes no mercado londrino e é também utilizada como base da remuneração de empréstimos em dólares a empresas e instituições governamentais. Euribor (Euro Interbank Offered Rate) é a taxa de juros usada nas operações interbancárias, feitas em euro, entre os países da Eurozona.

Juros simples

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

   

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante=Principal +Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:
    M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios resolvidos: juro simples

01) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15 meses, com uma taxa de 3% ao mês?    

  

02) A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$ 2.400,00 em 6 meses?

03)Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano?

04)Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10 meses.

05)Um capital de R$ 16.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine a taxa anual.

06)(SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1 – 2012) – Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro.

(A)R$45,00.
(B)R$90,00.
(C)R$180,00.
(D)R$450,00.
(E) R$ 900,00.

JUROS COMPOSTOS

Diferente dos juros simples, o juro composto é calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial.

Através da fórmula abaixo, poderemos calcular o montante adquirido ao longo do tempo em que certa quantia fica submetida ao regime de juros compostos.

Montante (M)     -     Capital (C)     -     Taxa (i)       -      Período de tempo (t)

M = C . (1 + i)^t

Para encontrar somente juros basta subtrairmos o capital inicial do montante encontrado. Vejam a fórmula:

J = M – C

●Um capital de R$ 640,00 foi aplicado durante três meses a uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Quantos reais de juros rendeu essa aplicação?

M = ?       C = 640,00      i = 2% = 0,02     t = 3 meses

Lembrete: a taxa, para ser substituída na fórmula, deverá estar escrita em números decimais.

M = C . (1 + i)^t

M = 640 . (1 + 0,02)³

M = 640 . (1,02)³

M = 640 . 1,061208

M = R$ 679,17

J = M – C

J = 679,17 – 640,00

J = R$ 39,17

Conclusão: Esta aplicação rendeu R$ 39,17 de juros.

● Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 4% a.m por um período de cinco meses renderá quanto de juros?

M = ?        C = 5000,00       i = 4% a.m = 0,04       t = 5 meses

M = C . (1 + i)^t

M = 5000 . (1 + 0,04)⁵

M = 5000 . (1,04)⁵

M = 5000 . 1,2166529024

M = R$ 6083,26

J = M – C

J = 6083,26 – 5000,00

J = R$ 1083,26

Conclusão: esta aplicação renderá R$ 1083,26.

É muito importante e prático, que nas resoluções de problemas contendo juros compostos, seja feito o uso de uma calculadora comum ou financeira. Isso torna o cálculo menos enfadonho e mais preciso.

“O que sentimos ao beber doses de conhecimentos é a lubrificação do espírito antes travado pela ferrugem da ignorância.”

Exercícios propostos e resolvidos sobre juros compostos

1)Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.

Resolução:

S=p* (1+i) ⁿ

2)Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?

Resolução:

S=p* (1+i) ⁿ

.

3) Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros dessa aplicação.

Resolução:

S=p* (1+i) ⁿ

4) Vanessa comprou um telefone celular cujo preço à vista é R$ 690,00, pagando 60% de entrada e o restante após 30 dias em uma única parcela de R$ 300,84, qual a taxa de juros diárias cobradas pela loja?

Resolução:

Sessenta por cento de entrada é 60% de 690 = R$ 414,00, portanto o capital inicial será R$ 414,00 e o capital final será 

R$ 414,00 + R$ 300,84 = R$714,84.

Da fórmula C = C₀.(1 + i)^t onde C é o capital final e C₀ é o capital inicial, i a taxa de juros e t o período segue que

714,84 = 414.(1 + i)¹

714,84 = 414 + 414i

714,84 - 414 = 414i

300,84 = 414i

i = 300,84/414 = 0,73 ao mês. Assim, por dia, divida por 30, ficará: i = 0,024 ao dia ou 2% ao dia, aproximadamente.

05)Encontre o montante produzido por um capital de R$5.000,00, empregado a juros compostos de 3% ao mês durante 12 meses.

M = C(1 + i)^t      M = ?    C = R$5.000      i = 0,3a.m     t = 12 meses

M = 5000(1 + 0,03)¹²

M = 5000 (1,03)¹²

M = 5000.1,425

M = R$ 7128,80

06)Um televisor custa, á vista, $380,00. Mas se vou pagá-lo em 5 prestações mensais, o preço total será $494,00. Nesse caso, quanto por cento será cobrado de juros?

M = C.(1+i)^t

494 = 380.(1+i)^t

1,3 = (1+i)⁵

1 + i = 1,05

 i = 0,05 = 5% de juros

Referências,

Ø   https://pt.wikipedia.org/wiki/Juro

Ø   http://www.infoescola.com/matematica/juros-compostos/