Amatemática financeirautiliza uma série de conceitosmatemáticosaplicados à análise de
dadosfinanceirosem geral.
Os problemas clássicos de
matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juroeinflação) e como isso é aplicado aempréstimos,investimentose avaliação financeira de
projetos.
O tema também pode de ser
aplicado a precificação deaçõese dederivativos, mas esse tipo de
aplicação não é tratada neste artigo.
Conceitos
Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou
investido.
Juro: Compensação paga pelo tomador do
empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o
dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($)
ou como uma taxa de juro (%).
Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um
determinado momento.
Parcela
ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do
empréstimo (ou receptor do investimento).
Juro
Juroé a remuneração cobrada peloempréstimodedinheiro. É expresso como umpercentualsobre o valor emprestado
(taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros
compostos.
O juro pode ser
compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa
seria uma compensação paga pelo tomador doempréstimopara ter o direito de usar
o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma
compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por
correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).
Taxa básica de juros
A taxa básica de juros
corresponde à menor taxa de juros vigente em umaeconomia, funcionando como taxa de
referência para todos os contratos. É também a taxa a que um banco empresta a
outros bancos.
No Brasil, a taxa de juros
básica é ataxa Selic,que é definida peloComitê de Política
Monetária(COPOM)[Nota
2]doBanco Central, e corresponde à taxa de juros vigente no mercado
interbancário, ou seja, é a taxa aplicada aos empréstimos entre bancos para
operações de um dia (overnight)
- operações estas lastreadas portítulos públicos federais. A taxa básica de juros, estabelecida pelo governo, através doBanco Central, para remunerar ostítulos da dívida pública, é um importante instrumento depolítica monetáriaefiscal. Em 20 de julho de 2011 a taxa básica de juros se elevou pela
quinta vez seguida alcançando a marca de 12,5 pontos percentuais. O maior desde
janeiro de 2009. Ao elevar a taxa Selic, o objetivo do BC é frear oconsumoda população (dadoque o consumidor terá que
pagar juros mais altos, em compras pelo crediário) a fim de conter ainflação.
De forma análoga, nos
Estados Unidos, a taxa básica de juros é fixada peloFederal Open Market Committee(Comitê Federal de Mercado Aberto) doFed(o sistema debancos centraisdosEUA), com base na remuneração dosFederal Funds, que são ostítulosque lastreiam empréstimos
interbancáriosovernighte que têm como finalidade a manutenção do nível das reservas
bancárias depositadas nobanco central.
Taxa preferencial de juros
A taxa preferencial de juros
(em inglês,prime rate) é a taxa de juros
bancária cobrada dos clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm as
melhores avaliações de crédito. É determinada pelas condições de mercado
(custos bancários, expectativas inflacionárias, remuneração de outros ativos,
etc.). Em geral, a taxa preferencial de juros adotada por grandes bancos tende
a ser a referência para todo o setor bancário e normalmente será a menor taxa
do mercado.
Geralmente a taxa
preferencial supera em alguns pontos a taxa básica. Mas, na Inglaterra e naEurozona, a taxa preferencial de juros
corresponde exatamente à taxa vigente no mercado interbancário, e funciona como
taxa básica de juros. É o caso daLibore daEuribor. A Libor (London Interbank Offered Rate) é a taxa preferencial de juros
que remunera grandes empréstimos entre os bancos internacionais operantes no
mercado londrino e é também utilizada como base da remuneração de empréstimos
emdólaresa empresas e instituições
governamentais. Euribor (Euro
Interbank Offered Rate) é a taxa de juros usada nas operações
interbancárias, feitas emeuro, entre os países da Eurozona.
Juros simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir
apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não
incidirão novos juros.Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J
= P . i . n
Onde:
J =
juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de
R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples
e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante=Principal +Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M
= P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante
resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] =
R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n,
na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360,
para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360
dias.
Exercícios
resolvidos: juro simples
01)Qual o valor do juro correspondente a um
empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15 meses, com uma taxa de 3% ao mês?
02)A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$
2.400,00 em 6 meses?
03)Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu
de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano?
04)Determine o montante de uma aplicação de R$
5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10 meses.
05)Um capital de R$ 16.000,00, aplicado durante 8
meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine a taxa anual.
06)(SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1
– 2012) – Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à
taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato
deverá pagar, de juro.
Diferente dosjuros simples, o juro composto é
calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro
período é que os juros são calculados sobre o capital inicial.
Através da fórmula abaixo, poderemos calcular o montante adquirido
ao longo do tempo em que certa quantia fica submetida ao regime de juros
compostos.
Montante
(M) - Capital
(C) - Taxa
(i) - Período
de tempo (t)
M = C . (1 + i)t
Para encontrar somente juros basta subtrairmos o capital inicial
do montante encontrado. Vejam a fórmula:
J = M – C
●Um capital de R$ 640,00 foi aplicado durante três meses a uma taxa de
juros compostos de 2% a.m. Quantos reais de juros rendeu essa aplicação?
M =
? C = 640,00
i = 2% = 0,02 t = 3 meses
Lembrete:a taxa, para ser substituída na fórmula, deverá estar escrita em
números decimais.
M = C . (1 + i)t
M = 640 . (1 + 0,02)3
M = 640 . (1,02)3
M = 640 . 1,061208
M = R$ 679,17
J = M – C
J = 679,17 – 640,00
J = R$ 39,17
Conclusão:Esta aplicação rendeu R$
39,17 de juros.
● Um capital de R$ 5000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos
de 4% a.m por um período de cinco meses renderá quanto de juros?
M =
? C =
5000,00 i = 4% a.m =
0,04 t = 5 meses
M = C . (1 + i)t
M = 5000 . (1 + 0,04)5
M = 5000 . (1,04)5
M = 5000 . 1,2166529024
M = R$ 6083,26
J = M – C
J = 6083,26 – 5000,00
J = R$ 1083,26
Conclusão:esta aplicação renderá R$
1083,26.
É muito importante e prático, que nas resoluções de problemas
contendo juros compostos, seja feito o uso de uma calculadora comum ou
financeira. Isso torna o cálculo menos enfadonho e mais preciso.
“O que sentimos ao beber
doses de conhecimentos é a lubrificação do espírito antes travado pela ferrugem
da ignorância.”
Exercícios
propostos e resolvidos sobre juros compostos
1)Determinado capital gerou, após 24 meses, um
montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine
o valor desse capital.
Resolução:
S=p* (1+i) n
2)Qual o tempo necessário para que um capital,
aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?
Resolução:
S=p* (1+i) n
.
3) Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um
ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros
dessa aplicação.
Resolução:
S=p* (1+i) n
4)Vanessa comprou um telefone celular cujo preço
à vista é R$ 690,00, pagando 60% de entrada e o restante após 30 dias em uma
única parcela de R$ 300,84, qual a taxa de juros diárias cobradas pela loja?
Resolução:
Sessenta por cento de entrada é 60% de 690 = R$ 414,00, portanto o
capital inicial será R$ 414,00 e o capital final será
R$ 414,00 + R$ 300,84 = R$714,84.
Da fórmula C = C0.(1 + i)t onde C é o capital
final e C0 é o capital inicial, i a taxa de juros e t o período
segue que
714,84 = 414.(1 + i)1
714,84 = 414 + 414i
714,84 - 414 = 414i
300,84 = 414i
i = 300,84/414 = 0,73 ao mês. Assim, por dia,
divida por 30, ficará: i = 0,024 ao dia ou 2% ao dia, aproximadamente.
05)Encontre o montante produzido
por um capital de R$5.000,00, empregado a juros compostos de 3% ao mês durante
12 meses.
M = C(1 + i)t M = ? C = R$5.000 i = 0,3a.m
t = 12 meses
M = 5000(1 +
0,03)¹²
M = 5000
(1,03)¹²
M =
5000.1,425
M = R$
7128,80
06)Um
televisor custa, á vista, $380,00. Mas se vou pagá-lo em 5 prestações mensais,
o preço total será $494,00. Nesse caso, quanto por cento será cobrado de juros?
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se
dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente
devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por
volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível
encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e
também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.
A palavra trigonometria significa medida das
partes de um triângulo. Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo
surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica,
adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático
das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos
de suas cordas.0,
Papiro Rhind,
Museu de Londres.
O astrônomo Hiparco de
Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o
pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do século II a.C., fez um
tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira
tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco
fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma
figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As
principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na
organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração
de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes -
duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica -
e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.
A "Trigonometria" era então baseada no estudo da
relação entre um arco arbitrário e sua corda. Hiparco escreve a respeito do
cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da corda de um arco não ser o seno,
uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se calcular o seno da metade
do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do
raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio
unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x éconforme figura:
OB = r
A palavra cosseno surgiu
somente no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os
conceitos de seno e cosseno foram originados
pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente,
ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.
Outro matemático grego, Menelau de Alexandria,
por volta de 100 d.C., produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis
livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros,
se preservou numa versão árabe e é o trabalho mais antigo conhecido sobre
trigonometria esférica.
Entretanto, a mais influente e significativa obra
trigonométrica da Antigüidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita
por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado
é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi
associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na
Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse
nome.Mostrando a mesma influência babilônica apresentada
por Hiparco,Ptolomeu dividiu a circunferência em 360 partes e o
diâmetro em 120 partes. Usoucomo aproximação para o número p. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno,
mas das cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida
relação fundamentalSemelhantemente,
em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual,
são:
De posse do equivalente dessas fórmulas, Ptolomeu construiu
uma tabela de cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio em
meio grau, entre 0º e 180º. Calculou comprimentos de cordas, inscrevendo
polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 lados num círculo. Isso lhe possibilitou
encontrar a corda subtendida por ângulos de 36º, 60º, 72º, 90º e 120º.
Descobriu então, um método para encontrar a corda subtendida pela metade do
arco de uma corda conhecida. Esse fato que, em nossa simbologia, é o mesmo quejuntamente com interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um bom
grau de precisão.
Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para
os ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os
estudiosos discutiam uma "expressão" do ângulo em termos dep, que primeiramente foi chamada
"p-medida",
"circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que
fizeram uso dessa unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas
matemáticas e físicas.
Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais
importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no
século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras
trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua Matemática
original e criativa, os Hindus.
A mais antiga tábua de senos foi descoberta na Índia, onde essas tábuas
sem dúvida se originaram. Seus inventores, desconhecidos, conheciam as idéias
matemáticas gregas e babilônias transmitidas como subprodutos de um florescente
comércio romano com o sul da Índia, via Mar Vermelho e Oceano Índico. O Surya
Siddhanta, cujo significado é sistemas de Astronomia, era um conjunto de
textos matemáticos e regras enigmáticas de Astronomia, redigido em versos, em
sânscrito, com poucas explicações e nenhuma prova. Foi composto no século IV ou
V d.C., mas a versão que resta foi revista tantas vezes que é difícil dizer que
partes estão em sua forma original.
O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no
trabalho dos hindus. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas
envolvendo metade de cordas que agora realmente são tabelas de senos e usou
jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi reproduzida no trabalho
de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir uma tabela de
senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskaraem 1150.
Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e
a Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando,
entre 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria
hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu
o nome da função seno.
Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em
980, Abu'l - Wafa sabia que
embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela
fórmula de Ptolomeu, fazendo x = y.
A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi
traduzida para o árabe que chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo
som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos
escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida
seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib,
pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta,
curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o
gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é
a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de
uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno.
Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores
europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram
jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do
termo sinus rectus
arcusrapidamente
encorajou o uso universal de seno.
Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em
árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das
palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jibae jaib terem
as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha
sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.
Os capítulos do livro de Copérnico, mostrando toda a importância da
Trigonometria para a Astronomia, foram publicados em 1542 por Rheticus.
Este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram
publicadas após a sua morte.
O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação
padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si
mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund
Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um
desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático
francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e
Oughtred S.
Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz
respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em
1620, sugeriu co-sinus. A notação Si.2foi usada por Cavalieri, s co
arc por Oughtred e S por Wallis.
Viète conhecia as fórmulas para sen nx em termos de sen x e cos x. Ele
deu explicitamente as fórmulas relativas ao seno e ao cosseno do arco triplo
A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias
associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação
na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam
com a vara e, portanto modificava o tamanho da sombra.
Assim, a tangente e a cotangente vieram
por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram
conceitos desenvolvidos juntos e não foram primeiramente associados a ângulos,
sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um
objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de
sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as
alturas das pirâmides através da semelhança de triângulos.
As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes
por volta de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas
Fincke, em 1583. O termo cotangente foi primeiro usado por Edmund
Gunter, em 1620.
As notações para a tangente e a cotangente seguiram
um desenvolvimento semelhante àquele do sen e cos.
Cavalieri usou Ta e Ta.2, Oughtred usou t
arc e co arc, enquanto Wallis usou T e t.
A abreviação comum usada hoje é tan (ou tg) sendo que a primeira ocorrência
desta abreviação é devida a Albert Girard em 1626, com tan escrito
por cima do ângulo; cot foi primeiro usada por Jonas Moore em
1674.
A secante e
a cossecante não foram usadas pelos antigos astrônomos ou
agrimensores. Estas surgiram quando os navegadores por volta do século XV começaram
a preparar tabelas. Copérnico sabia da secante que
ele chamou a hipotenusa. Viète conhecia os resultados
e.
As abreviações usadas por vários autores foram semelhantes para as
funções trigonométricas já discutidas. Cavalieri usou Se e Se.2,
Oughtred usou se arc e sec co arc, enquanto Wallis
usou s e s. Albert Girard usou sec,
escrito por cima do ângulo como ele fez para a tan.
O século XVIII viu as funções trigonométricas de uma variável complexa
sendo estudadas. Johann Bernoulli achou a relação entree log z
em 1702. De Moivre publicou seu famoso teorema
em 1722,
enquanto Euler, em 1748, forneceu a fórmula.
Teoria
A trigonometria é uma ferramenta
matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos
retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em
trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a
distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema
solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para
compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.
Observe
a figura abaixo que representa um triângulo retângulo:
Note que o maior lado é denominado de
hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica
oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α
e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo
retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.
O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a
razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
O cosseno de um ângulo no triângulo
retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Definidas as razões
trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo
abaixo:
Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos
ângulos agudos do triângulo abaixo.
Solução: Temos que
Exemplo
2.
Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:
Solução: A hipotenusa do triângulo é x
e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
O triângulo é a figura mais simples e uma das
mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos.
O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus
lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser
classificado da seguinte forma:
Equilátero: possui os lados com medidas iguais. Isósceles: possui dois lados com medidas
iguais. Escaleno: possui todos os lados com medidas
diferentes.
Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser
denominados: Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida
maior que 90º. Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º,
chamado ângulo reto. No triângulo retângulo existem algumas
importantes relações, uma delas é oTeorema de Pitágoras,
que diz o seguinte:“A
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras
situações envolvendo medidas.
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo
admitem três casos: seno, cosseno e tangente.
Dado o triângulo retângulo ABC, temos
as seguintes relações:
Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente
Tabela de Razões
Trigonométricas
Os
cálculos envolvendo as relações trigonométricas, ao serem efetuados, necessitam
de alguns valores de ângulos, que estão presentes na seguinte tabela de razões
trigonométricas:
A trigonometria
possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à
Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.
Exercícios
Resolvidos
Questão
1(PM Paraná 2010 – Cops). Uma torre de observação é
construída em uma região plana. Um bombeiro precisa determinar a altura h da
torre. Ele observa a torre sob um ângulo de 60°, a partir de um ponto P,
situado a d metros desta. Partindo de P, ao se afastar da torre por mais 10
metros, passa a vê-la sob um ângulo de 45°.Qual a altura da torre, em metros?
Resolução:
Triangulo com ângulo de 60 graus
tg60 = h/d
√3 = h/d
d = h / √3 (1)
Triângulo com ângulo de 45 graus
tg45 = h/(d+10)
1 = h/(d+10)
h = d + 10 (2)
Substituindo (1) em (2):
h = h / √3 + 10 (multiplicar por √3)
h√3 = h + 10√3
h√3 – h = 10√3
h(√3 – 1) = 10√3
h = 10√3 / (√3 – 1)
Resposta: A
Questão 2(RFB 2009 – Esaf). Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em
relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode
ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco
primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de
lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?
a) 0,333 km
b) 0,625 km
c) 0,5 km
d) 1,3 km
e) 1 km
Resolução:
Como ele tem
velocidade média de 900 km/h, e uma hora possui 3600 segundos, temos que a
velocidade em km/seg é de 900/3600 = 0,25 km/seg. Como queremos saber a
distância após 5 segundos, ele viajou 0,25 x 5 = 1,25 km.
Observe
o triângulo que representa a trajetória do projétil. Desejamos descobrir a
altura, ou seja, o valor de x.
Temos que sen30º = cateto oposto / hipotenusa
0,5 = x / 1,25
x = 1,25 . 0,5 = 0,625 km
Resposta: B
Questão
3.(PC
MA – FGV 2012) A figura abaixo mostra uma viga AB de 4 m de comprimento
presa no ponto A a uma parede vertical. A viga é mantida na posição horizontal
pelo cabo de aço PQ de forma que P está fixo na parede, AP é vertical e Q está
no meio da viga AB. Sabe-se que o ângulo APQ mede 40º.
A distância entre os pontos A e P é de aproximadamente:
a) 1,68 m.
b) 2,38 m.
c) 2,56 m.
d) 2,75 m.
e) 3,08 m.
Resolução
A questão informa que AB = 4. Como Q está no meio da viga AB, então AQ =
2.
Sabendo que APQ é um ângulo de 40º, vamos utilizar a fórmula da tangente
para calcularmos AP. Veja:
Resposta:
B
TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
Os problemas envolvendo
trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos.
Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha facilidade, algumas
situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos. Nesses
casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos.
Lei
dos senos
A lei dos senos estabelece relações entre as medidas dos lados com os senos dos
ângulos opostos aos lados. Observe:
Exemplo 1
No triângulo a seguir, determine o valor dos segmentos x e y.
Aplicando a lei
dos senos, temos:
Lei dos cossenos
Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei
dos cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a
medida de um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a,
b e c, temos:
a²
= b² + c² - 2 * b * c * cos A b²
= a² + c² - 2 * a * c * cos B c²
= a² + b² - 2 * a * b * cos C
Exemplo
2
Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:
Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º.
Determine a medida do terceiro lado.
De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º.
Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira:
1.Arco de circunferência é
cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus
pontos.
2.Medida de um arco é
realizada comparando este a um arco único, assim, para cada arco existente na
circunferência temos um ângulo central correspondente, ou seja, med(AÔB) =
med(AB). Veja o exemplo abaixo:
Os arcos unitários mais
usados são: o grau, quando dividimos a circunferência em 360 partes ele será
uma dessas 360 partes, não podemos esquecer dos submúltiplos do grau, ou seja,
o minuto 1° = 60' e o segundo 1° = 60"; e o radiano que corresponde a um
arco que tem comprimento igual ao raio da circunferência, para obter a medida
do ângulo, em radianos, basta dividir o comprimento do arco pelo raio.
Para
uma circunferência qualquer tem-se: 360° = 2π rad, logo, 180° = π rad.
Assim, usando o conceito aprendido anteriormente de proporção e conversão de
unidades temos que 1 rad ≅ 57,3°.
Circunferência
trigonométrica: os ângulos dos arcos podem ser representados por meio do ciclo
trigonométrico, para isso deve-se ter uma circunferência com raio unitário, um
plano que esteja centrado na circunferência, a origem dos arcos ser o ponto
A(1,0), os arcos medidos no sentido horário serem positivos e o dos
anti-horário serem negativos, a circunferência ficar dividida em quatro partes,
denominadas de quadrantes e numeradas no sentido anti-horário.
Não
podemos esquecer de algumas particularidades dos circunferências
trigonométricas:
→
Arcos côngruos que são arcos que quando medidos no mesmo sentido possuem a
mesma extremidade e diferem-se na quantidade de voltas. Expressão geral: α +
360º*k (caso a medida seja dado em graus) e α + 2π*k (caso a medida seja dada
em radianos), α é a menor determinação ou primeira determinação positiva sendo
0 ≤ α < 360°, ou seja, k = 0.
→
Seno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo y, assim,
sen α = OM".
→
Cosseno de um arco: é a projeção ortogonal do segmento OM sobre o eixo x, assim
cos α = OM'.
→
Tangente de um arco: é a medida do segmento AT, assim, tg α = AT.
Relação
fundamental da Trigonometria: sen² α + cos² α = 1.
→
Simetria dos arcos basicamente é a redução ao primeiro quadrante, assim devemos
usar formulas especificas variando da posição do arco no quadrante.
1.Arco que pertence ao 2°
quadrante: sen (180° - β) = sen β e cos (180° - β) = -cos β, logo, sen (180° -
α) = sen α e cos (180° - α) = -cos α.
2.Arco que pertence ao 3°
quadrante: sen (180° + β) = -sen β e cos (180° + β) = -cos β, logo, sen (180° +
α) = -sen α e cos (180° + α) = -cos α.
3.Arco que pertence ao 4°
quadrante: sen (360° - β) = -sen β e cos (360° - β) = cos β, logo, sen (360° -
α) = -sen α e cos (360° - α) = cos α.
Exercícios resolvidos
1.Um arco AB de uma
circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a
medida em radianos do arco AB, se:
(a)
L=6cm (b) L=16cm (c) L=22cm (d)
L=30cm
RESPOSTA:
A medida em radianos
de um arco AB é dada por
m(AB)=
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
(a) m(AB) =
( 6cm)/( 4cm) = 1,5 rad
(b) m(AB) =
(16cm)/(4cm) = 4 rad
(c) m(AB) =
(22cm)/(4cm) = 5,5 rad
(d) m(AB) =
(28cm)/(4cm) = 7 rad
2.Em uma
circunferência de raio R, calcule a medida de um arco em radianos, que tem o
triplo do comprimento do raio.
RESPOSTA:
A medida em radianos de um arco AB é
dada por
m(AB)=
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
Assim, como o comprimento do arco é o
triplo do comprimento do raio
m(AB) = 3R/R = 3rad
3.Um atleta percorre 1/3 de uma
pista circular, correndo sobre uma única raia. Qual é a medida do arco
percorrido em graus? E em radianos?
RESPOSTA:
Uma volta inteira na pista equivale a
360 graus, assim 1/3 de 360 graus é 120 graus.
Uma volta inteira na pista equivale a 2 radianos, então
o atleta percorreu (2/3) .
4. Em uma pista
de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferência até
o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre
cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma volta
inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?
RESPOSTA:
Para simplificar os
resultados supomos pi=3,1415 e enumeramos as raias de dentro para fora como C1,
C2, C3, C4 e C5.
A primeira raia C1
tem raio de medida 10 m, então:
m(C1)=2100=200=200 x 3,1415=628,3
metros
A raia C2 tem raio de
medida 12 m, então:
m(C2)=2102=204=204 x 3,1415=640,87
metros
A raia C3 tem raio de
medida 14 m, então:
m(C3)=2104=208=208 x 3,1415=653,43
metros
A raia C4 tem raio de
medida 16 m, então:
m(C4)=2106=212=212 x 3,1415=665,99
metros
5.Qual é a
medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das medidas do primeiro com
o segundo é 14 graus, a do segundo com o terceiro é 12 graus e a soma das
medidas do primeiro com o terceiro é 8 graus.
RESPOSTA: Sejam a, b e c
os três ângulos, assim
m(a)+m(b)=14
graus
m(b)+m(c)=12
graus
m(a)+m(c)= 8
graus
resolvendo o sistema
de equações, obtemos:
m(a)=5
graus
m(b)=9 graus
m(c)=3 graus
6.Qual é a medida do ângulo que o
ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em
graus e em radianos.
RESPOSTA:
O ponteiro das horas
percorre em cada hora um ângulo de 30 graus, que corresponde a 360/12 graus.
Como 1 hora possui 60 minutos, então o ângulo percorido é igual a a=0,5 graus,
que é obtido pela regra de três:
60
min ………………… 30 graus
1 min ………………… a
graus
Convertemos agora a
medida do ângulo para radianos, para obter a=/360 rad, através da
regra de três:
180graus
………………… rad
0,5
graus ………………… a rad
7.Os dois ponteiros de um relógio
se sobrepoem à 0 horas. Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira
vez novamente?
RESPOSTA:
O
ponteiro dos minutos percorre 360° enquanto o ponteiro das horas percorre
360°/12=30º. Até 1:00h os ponteiros não se encontraram, o que ocorrerá entre
1:00h e 2:00h.
Consideraremos a
situação original à 1:00h, deste instante até o momento do encontro o ponteiro
dos minutos deslocou aº e o ponteiro das horas deslocou (a-30)º, como está na
figura, assim:
Ponteiro dos minutos
ponteiro das horas
360º
30º
aº
(a-30)º
Pela tabela, tem-se
que: 360(a-30)=30.a, de onde segue que 330a=10800e assim podemos concluir que
a=32,7272º
O ponteiro dos
minutos deslocou 32,7272º após 1:00h, mas ainda precisamos verificar quantos
minutos corresponde este ângulo.
5
min ………………… 30 graus
x
min …………… 32,7272 graus
A regra de três
fornece x=5,4545'=5'27,27''. Assim, os ponteiros coincidem novamente após às
12:00h à 1 hora,5 minutos e 27,27 segundos.
8.Calcular o menor ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio que marca 12h e 20minutos.
RESPOSTA:
O ponteiro das horas
percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos
ele percorre o ângulo a
60
min ………… 30 graus
20
min …………… a graus
A regra de
três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120
graus, então o ângulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus.
Parte
superior do formulário
Parte
inferior do formulário
9. Escreva o
ângulo a=12°28' em radianos.
RESPOSTA:
Usando o fato de que
1 grau possui 60 minutos, temos
1
grau …………… 60 minutos
x
graus …………… 28 minutos
A regra de três
garante que x=28/60=0,4666 grause desse modo segue que 12°
28'=(12+28/60)°=12+0,4666=12,4666°
Representando por M a
medida do ângulo em radianos, temos
180°…………… rad
12,4666°……………M
rad
e da regra de três
segue que: M=12,4666./180=0,2211 rad
10. Escreva o ângulo a=36°12'58" em radianos.
RESPOSTA:
Usando o fato de que
1 minuto possui 60 segundos, temos
1
min ……………60 segundos
x
min ……………58 segundos
x=58/60=0,967 min,
logo 36°12'58''=36°(12+0,967)'=36°12,967'
Como 1 grau
corresponde a 60', então:
1
grau ……………60 minutos
x
graus ……………12,967 minutos
x=12,967/60=0,2161° e
36°12'58''=(36+0,2161)°=36,2161°
A medida M do ângulo
em radianos, é M=36,2161°./180=0,6321 rad, que
foi obtida como solução da regra de três:
